Dünyayı Değiştiren 17 Denklem

Matematik her yerde ve dünya anlayışımızı sayısız yollarla şekillendiriyor. Bu zamana kadar birçok problem ve teori öne sürüldü. Bunların formalize edilip ispatlanması ile matematiksel değer kazandılar. Değişik bilim dalları sayısız denklemler içeriyor. Ama kimi denklemler zaman içinde diğerlerinin arasından sıyrıldı ve öne çıktı.

2013’te matematikçi ve bilim yazarı Ian Stewart, “Dünyayı Değiştiren 17 Denklem” adlı bir kitap yayınladı.




















Euler formülünde;  ““ bir çok yüzlü geometrik şeklin köşe sayısını , “” aynı şeklin kenar sayısını, “” ise aynı şeklin yüz sayısını, ifade eder. Denkleme göre, yüz sayısı ile köşe sayısının toplamından kenar sayısını çıkarırsanız, daima 2 sayısını elde edersiniz. Basit olarak bir küp düşünelim. Küpte, 8 köşe, 12 kenar ve 6 yüz vardır. Köşeleri ve yüzleri toplar, kenarları çıkarırsam,  sayısını elde ederim. Hangi düzgün çok yüzlü geometrik şekli incelerseniz inceleyin yine aynı sonucu elde edersiniz. Örneğin sizlerde aynısını beşgen piramit için yapabilirsiniz.

Euler Formülü topoloji açısından temel öneme sahiptir. Euler’in gözlemi şimdi topolojik değişmez olarak adlandırılanların ilk örneklerinden biriydi. Euler’in Konigsburg Köprüleri probleminin çözümü ile birlikte, bu gözlem; modern fizik için gerekli olan matematiğin bir dalının temelini oluşturan topolojinin gelişimine yol açtı.

7) Normal Dağılım (Gauss Dağılımı)



Çan eğrisi grafiğine sahip normal olasılık dağılım fonksiyonu, istatistiğin her yerinde bulunur. Denklemde; “ro” standart sapmayı , “” fonksiyonumuzun değişkenini, “mü” sayısı ise ortalama değeri ifade eder. Ortalama değere yaklaştıkça o olayın görülme olasılığı artar ve tam tersine ortalama değerden uzaklaştıkça o olayın görülme olasılığı azalır.

Normal eğri, çeşitli özellikleri modellemek için fizik, biyoloji ve sosyal bilimlerde kullanılır. Özellikle modern istatistiğin temelindeki denklemdir. Normal eğrinin çok sık ortaya çıkmasının sebeplerinden biri de bağımsız değişkenlerin geniş gruplarının davranışını tanımlamasıdır.

8) Dalga Denklemi



Bu bir diferansiyel denklemdir veya yukarıdaki gibi türevin özelliği bakımından özelliklerin zamanla nasıl değiştiğini açıklar. Dalga denklemi, titreşen bir gitar dizesi, bir taş atıldıktan sonra havuzda dalgalanmalar veya akkor ampulden gelen ışık dalgalarının davranışını tanımlar. Dalga denklemi ilk başlarda bir diferansiyel denklemdi ve denklemi çözmek için geliştirilen teknikler de diğer diferansiyel denklemleri anlamanın kapısını açtı.

9) Fourier Dönüşümü



Fourier dönüşümü insan konuşması gibi daha karmaşık dalga yapılarını anlamak için gereklidir. Konuşan bir kişinin kaydı gibi karışık dalga fonksiyonunu göz önüne alalım. Fourier dönüşümü dağınık işlevi birkaç basit dalganın birleşimine dönüştürerek analizin büyük ölçüde basitleştirilmesine olanak tanır. Zamana bağlı fonksiyonları, frekansa bağlı olarak tanımlamaya yarar.

Fourier dönüşümü, modern sinyal işleme ve analizinin ve veri sıkıştırmanın kalbindedir.

10) Navier- Stokes Denklemi



Dalga denklemi gibi, bu da diferansiyel bir denklemdir. Denklemin sol tarafındaki “ro” harfi, akışkanın yoğunluğunu ifade eder ve parantezin içinde hızın zamana göre türevi alınmış yani ivmeyi ifade eder. Buradaki ivme bir akışkanın ivmesidir. Parantez içerisindeki ikinci terim, akışın hızı ile akışın gradyanını (değişim vektörünü) birbiriyle çarpan ifadedir. Denklemin sağ tarafında ise üzerine etki eden kuvvetleri belirtir. (ters üçgen, del operatörüdür. İlk terimde akışın basıncının del operatörü ile çarpımı alınır. Sonrasında ise aynı işlem, toplam stres tensörü ile yapılır ve sonunda bu iki terimin toplamına “” ile ifade edilen vücut kuvvetleri eklenir.) Dolayısıyla bu denklem, Newton’un İkinci Yasası’nın  akışkanlara genişletilmiş bir versiyonudur.

Navier-Stokes denklemleri akan akışkanların davranışını – bir borudan geçen su, bir uçak kanadındaki hava akışı veya bir sigaradan çıkan dumanı- tanımlar. Navier-Stokes denklemlerinin bilgisayarların akışkan hareketi oldukça iyi simüle etmesine olanak tanıyan yaklaşık çözümlerine sahipken, denklemlere matematiksel olarak kesin çözümler üretmek mümkün olup olmadığı halen açık bir soru (bir milyon dolarlık ödül ile) halindedir.

11) Maxwell’in Denklemleri



Bu dört diferansiyel denklem, elektrik  ve manyetizma  arasındaki davranışı ve ilişkiyi tanımlamaktadır.

Elektrik ve manyetik alanları birleştirmeye çalışan ilk kişi Michael Faraday’dır ve bu çabası ilk olarak James Clerk Maxwell tarafından denkleme dönüştürülmüştür. Bu keşif, fiziği temelden değiştirmiştir.

Newton’un hareket yasaları ve evrensel çekim yasası klasik mekaniktir olduğu gibi Maxwell’in denklemleri klasik elektromanyetizmadır. Elektromanyetizmanın gün boyunca nasıl çalıştığını açıklayan açıklamanın temelidir. Gördüğümüz gibi, modern fizik elektromanyetizmanın kuantum mekanik bir açıklamasına dayanır ve artık bu zarif denklemlerin insan ölçeğinde iyi çalışan bir yaklaşım olduğu açıktır.

12) Termodinamik’in İkinci Yasası



Kapalı bir sistemde, sistemin entropinin daima sabit veya artmakta olduğunu gösterir (İzole sistemlerin entropisinin asla azalmayacağını belirtir.). Termodinamik entropisi kabaca bir sistemin bozukluğunun bir ölçüsüdür. Örneğin soğuk bir bölgenin yanında sıcak bir bölge olan bir sistemde, sıcak bölge soğuk bölgeye eşit dağılana kadar geçen ısı her zaman dışarı çıkma eğiliminde olacaktır.

Termodinamiğin ikinci yasası, zamanın bu şekilde önemli olduğu fizikteki birkaç durumdan biridir. Çoğu fiziksel süreç tersine çevrilebilir – denklemleri bozmadan geriye doğru çalıştırabiliriz. Fakat, termodinamiğin ikinci yasası yalnızca bu yönde çalışır. Eğer siz bir fincan sıcak kahveye bir buz küpü koyarsanız, buz küpünün erimesini her zaman görürsünüz ama asla kahvenin donduğunu göremezsiniz.

13) İzafiyet Teoremi



Tahmin ediyorum ki hepiniz bu eşitliği bir yerlerde gördünüz ve hakkında az çok bilginiz var. Einstein’ın meşhur denklemi.

Einstein, genel ve özel görelilik teorileri ile fizik dersini kökten değiştirdi.  klasik denklemi, maddenin ve enerjinin birbirine eşdeğer olduğunu belirtir. Özel görelilik, evrensel bir hız sınırı olan ışık hızı ve farklı hızlarda hareket eden insanlar için zaman geçişi gibi fikirleri ortaya attı.

Genel görecelik teorisi, yer çekimini, uzay ve zamanın kendilerini eğip katlanması olarak tanımlar ve Newton’un yasalarından beri yer çekimi anlayışımızda ilk büyük değişikliktir. Genel görecelik, evrenin kökenini, yapısını ve akıbetini anlamamız için gereklidir.

14) Schrödinger Denklemi



Burada i sanal birimdir, ℏ Planck sabitidir, ∂Ψ/∂t kuantum sisteminde dalga denkleminin zamanla nasıl değiştiğidir, Hamiltonyen işlemcidir (herhangi bir dalga fonksiyonu toplam enerjiyi karakterize eder ve duruma bağlı olarak farklı biçimler alır) ve Ψ dalga fonksiyonudur.

Schrödinger denklemi, bir kuantum sistemi hakkında bize her bilgiyi veren araç dalga fonksiyonu adında bir fonksiyondur. Dalga fonksiyonunun uzaya ve zamana bağlı değişimini gösteren denklemi ilk bulan Avusturyalı fizikçi Erwin Schrödinger’dir. Bu yüzden denklem Schrödinger denklemi adıyla anılır.

Kuantum mekaniğinde ana denklem budur. Genel görelilik evrenimizi en büyük ölçeklerinde açıkladığından, bu denklem atomların ve atom altı parçacıkların davranışını yönetir.

Modern kuantum mekaniği ve genel görelilik, tarihteki en başarılı iki bilimsel kuramdır. Kuantum mekaniği, en modern teknoloji için de gereklidir. Nükleer enerji, yarı iletken tabanlı bilgisayarlar ve lazerler, kuantum fenomenleri etrafında oluşturulmuştur.

15) Bilişim Kuramı



Burada verilen denklem Shannon bilgi entropisi içindir. Yukarıda verilen termodinamik entropi ile olduğu gibi, bu bir bozukluk ölçüsüdür. Bu durumda, bir mesaj, bir kitap, internette gönderilen bir JPEG resmi veya sembolik olarak temsil edilebilecek herhangi bir şeyin bilgi içeriğini ölçer. Bir mesajın Shannon entropisi, içeriğinin bir kısmını kaybetmeden mesajın ne kadar sıkıştırılacağına ilişkin daha düşük bir sınırı temsil eder.
Denklemde sol tarafta yer alan ve “” harfi gibi gözüken ama Yunan harflerinden biri olan “eta”, entropiyi(düzensizliği) simgeler. Denklemin sağında ki “” incelemekte olan fonksiyonu gösterir ve bu fonksiyon, seri toplama ifadesi altında aynı fonksiyonun logaritmasıyla çarpılmaktadır.
Shannon’ın entropi önlemi, bilginin matematiksel çalışmasını başlattı ve sonuçları bugün ağlar üzerinden nasıl iletişim kurduğumuzun merkezinde yer almaktadır. Stewart’a göre: “Bilgi çağını başlatan denklem bu olmuştur.” Bilişim Kuramı kodlar içerisinde hataların bulunabileceği hemen her yerde kullanılmaktadır.

16) Kaos Teorisi



Bu denklem May’ın lojistik haritasıdır. Zamanla gelişen bir süreci açıklar ( bir sonraki zaman periyodunda bir miktar seviyesi). , seçilen bir sabittir. Belirli değerleri için harita kaotik davranışı^* gösterir: ‘in belirli bir başlangıç değerinden başlasak süreç bir şekilde gelişir, ancak herhangi bir başlangıç değerinden başlarsak, hatta ilk değere çok yakın bir başlangıç yaparsak, süreç tamamen farklı bir şekilde gelişecektir.

Bir çok alanda kaotik davranışları görebiliriz. Hava, klasik bir örnektir. Bir gün atmosferik koşullarda ufak bir değişiklik, birkaç gün sonra tamamen farklı hava koşullarına yol açabilir. Bu hava sistemlerinin çoğu, bir kıtada kanatlarını çırpan bir kelebek, başka bir kıtada kasırgaya sebep olabilir. Daha iyi anlamak adına; mesela kalabalık bir meydandan 200 metre yukarı çıktığınızı hayal edin. Aşağı baktığınızda kalabalığın amaçsızca karışık bir şekilde sağa sola gittiğini görürsünüz. Sonra o kalabalığın içine indiğinizi ve her bir bireyi takip edebileceğinizi hayal edin. O zaman anlayacaksınız ki aslında bir kargaşa yok. Her bir bireyin bir amacı olduğunu ve ona göre hareket ettiğini anlarsınız. İşte buna Kaos Teorisi deniyor. Karışıklığın düzeni dersem daha iyi anlaşılır.

17) Black- Scholes Denklemi


Kaynaklar;

https://www.facebook.com/matematiksel.org/?fref=ts

http://www.sciencealert.com/the-17-equations-that-changed-the-course-of-history

 

Yunus Emre HAŞLAK